一、定義

　　濾波是將信號中特定波段頻率濾除的操作，是抑制和防止干擾的一項重要措施。是根據觀(guān)察某一隨機過(guò)程的結果，對另一與之有關(guān)的隨機過(guò)程進(jìn)行估計的概率理論與方法。

二、濾波起源

　　濾波一詞起源于通信理論，它是從含有干擾的接收信號中提取有用信號的一種技術(shù)?！敖邮招盘枴毕喈斢诒挥^(guān)測的隨機過(guò)程，“有用信號”相當于被估計的隨機過(guò)程。例如用雷達跟蹤飛機，測得的飛機位置的數據中，含有測量誤差及其他隨機干擾，如何利用這些數據盡可能準確地估計出飛機在每一時(shí)刻的位置、速度、加速度等，并預測飛機未來(lái)的位置，就是一個(gè)濾波與預測問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題在電子技術(shù)、航天科學(xué)、控制工程及其他科學(xué)技術(shù)部門(mén)中都是大量存在的。歷史上最早考慮的是維納濾波，后來(lái)R.E.卡爾曼和R.S.布西于20世紀60年代提出了卡爾曼濾波?，F對一般的非線(xiàn)性濾波問(wèn)題的研究相當活躍。

三、濾波基本概念

　　濾波是信號處理中的一個(gè)重要概念，濾波分經(jīng)典濾波和現代濾波兩種。

經(jīng)典濾波

　　經(jīng)典濾波的概念，是根據傅立葉分析和變換提出的一個(gè)工程概念。根據高等數學(xué)理論，任何一個(gè)滿(mǎn)足一定條件的信號，都可以被看成是由無(wú)限個(gè)正弦波疊加而成。換句話(huà)說(shuō)，就是工程信號是不同頻率的正弦波線(xiàn)性疊加而成的，組成信號的不同頻率的正弦波叫做信號的頻率成分或叫做諧波成分。

現代濾波

　　用模擬電子電路對模擬信號進(jìn)行濾波，其基本原理就是利用電路的頻率特性實(shí)現對信號中頻率成分的選擇。根據頻率濾波時(shí)，是把信號看成是由不同頻率正弦波疊加而成的模擬信號，通過(guò)選擇不同的頻率成分來(lái)實(shí)現信號濾波。

　　1、當允許信號中較高頻率的成分通過(guò)濾波器時(shí)，這種濾波器叫做高通濾波器。

　　2、當允許信號中較低頻率的成分通過(guò)濾波器時(shí)，這種濾波器叫做低通濾波器。

　　3、設低頻段的截止頻率為fp1,高頻段的截止頻率為fp2:

　　1)頻率在fp1與fp2之間的信號能通過(guò)其它頻率的信號被衰減的濾波器叫做帶通濾波器。

　　2)反之，頻率在fp1到fp2的范圍之間的被衰減，之外能通過(guò)的濾波器叫做帶阻濾波器。

理想濾波器的行為特性通常用幅度-頻率特性圖描述，也叫做濾波器電路的幅頻特性。

四、濾波分類(lèi)

維納濾波

　　歷史上最先考慮的是寬平穩過(guò)程（見(jiàn)平穩過(guò)程）的線(xiàn)性預測和濾波問(wèn)題，它的一般模型是Yt=Xt+Nt，其中(X，N)為二維寬平穩過(guò)程或序列，其譜分布函數已知,其均值為零。設從－∞到時(shí)刻t為止的全部Y的值都已被觀(guān)測到，求X的τ步線(xiàn)性預測及其均方誤差。如果限于考慮N=0、τ>0的情形，則變成在無(wú)誤差觀(guān)測條件下X本身的線(xiàn)性預測問(wèn)題；如果N≠0、τ≤0，則變成從受到噪聲N干擾的接收信號Y中提取有用信號X的濾波問(wèn)題。1939～1941年，Α。Η.柯?tīng)柲缏宸蚶闷椒€序列的沃爾德分解（見(jiàn)平穩過(guò)程），給出了線(xiàn)性預測的一般理論與處理辦法，隨即被推廣到連續時(shí)間的平穩過(guò)程。N.維納則在1942年對于平穩序列與過(guò)程的譜密度存在且滿(mǎn)足某種正則條件的情形，利用譜分解導出了線(xiàn)性最優(yōu)預測和濾波的明顯表達式，即維納濾波公式，并在防空火力控制、電子工程等部門(mén)獲得了應用。上述模型在50年代被推廣到僅在有限時(shí)間區間內進(jìn)行觀(guān)測的平穩過(guò)程以及某些特殊的非平穩過(guò)程，其應用范圍也擴充到更多的領(lǐng)域。至今它仍是處理各種動(dòng)態(tài)數據（如氣象、水文、地震勘探等）及預測未來(lái)的有力工具之一。

　　維納濾波公式是通過(guò)平穩過(guò)程的譜分解導出的，難以推廣到較一般的非平穩過(guò)程和多維情形，因而應用范圍受到限制。另一方面，在不斷增加觀(guān)測結果時(shí)，不易從已算出的濾波值及新的觀(guān)測值較簡(jiǎn)單地求出新的濾波值，特別是不能滿(mǎn)足在電子計算機上快速處理大量數據的需要。

卡爾曼濾波

　　由于高速電子計算機的發(fā)展以及測定人造衛星軌道和導航等技術(shù)問(wèn)題的需要，R.E.卡爾曼與R.S.布西于20世紀60年代初期提出了一類(lèi)新的線(xiàn)性濾波的模型與方法，通稱(chēng)為卡爾曼濾波。其基本假設是，被估計過(guò)程X為隨機噪聲影響下的有限階多維線(xiàn)性動(dòng)態(tài)系統的輸出，而被觀(guān)測的Yt則是Xt的部分分量或其線(xiàn)性函數與量測噪聲的疊加，這里并不要求平穩性，但要求不同時(shí)刻的噪聲值是不相關(guān)的。此外，觀(guān)測只需從某一確定時(shí)刻開(kāi)始，而不必是無(wú)窮長(cháng)的觀(guān)測區間。更重要的是，適應電子計算機的特點(diǎn)，卡爾曼濾波公式不是將估計值表成觀(guān)測值的明顯的函數形式，而是給出它的一種遞推算法(即實(shí)時(shí)算法)。具體地說(shuō)，對于離散時(shí)間濾波，只要適當增大X的維數，就可以將t時(shí)刻的濾波值表成為前一時(shí)刻的濾波值與本時(shí)刻的觀(guān)測值Yt的某種線(xiàn)性組合。對于連續時(shí)間濾波,則可以給出與Yt所應滿(mǎn)足的線(xiàn)性隨機微分方程。在需要不斷增加觀(guān)測結果和輸出濾波值的情形，這樣的算法加快了處理數據的速度，而且減少了數據存貯量?？柭€證明,如果所考慮的線(xiàn)性系統滿(mǎn)足某種“可控性”和“可觀(guān)測性”（這是現代控制理論中由卡爾曼提出的兩個(gè)重要概念），那么最優(yōu)濾波一定是“漸近穩定”的。大致說(shuō)來(lái)，就是由初始誤差、舍入誤差及其他的不準確性所引起的效應，將隨著(zhù)濾波時(shí)間的延長(cháng)而逐漸消失或趨于穩定， 不致形成誤差的積累。這在實(shí)際應用上是很重要的。

　　卡爾曼濾波也有多種形式的推廣，例如放寬對噪聲不相關(guān)性的限制，用線(xiàn)性系統逼近非線(xiàn)性系統，以及所謂“自適應濾波”，等等，并獲得了日益廣泛的應用。

非線(xiàn)性濾波

　　一般的非線(xiàn)性最優(yōu)濾波可歸結為求條件期望的問(wèn)題。對于有限多個(gè)觀(guān)測值的情形，條件期望原則上可以用貝葉斯公式來(lái)計算。但即使在比較簡(jiǎn)單的場(chǎng)合，這樣得出的結果也是相當繁雜的，無(wú)論對實(shí)際應用或理論研究都很不方便。與卡爾曼濾波類(lèi)似，人們也希望能給出非線(xiàn)性濾波的某種遞推算法或它所滿(mǎn)足的隨機微分方程。但一般它們并不存在，因此必須對所討論的過(guò)程X與Y加以適當的限制。非線(xiàn)性濾波的研究工作相當活躍，它涉及隨機過(guò)程論的許多近代成果，如隨機過(guò)程一般理論、鞅、隨機微分方程、點(diǎn)過(guò)程等。其中一個(gè)十分重要的問(wèn)題，是研究在什么條件下，存在一個(gè)鞅M，使得在任何時(shí)刻,M和Y都包含同樣的信息；這樣的M稱(chēng)為Y的新息過(guò)程。目前對于一類(lèi)所謂“條件正態(tài)過(guò)程”，已經(jīng)給出了非線(xiàn)性最優(yōu)濾波的可嚴格實(shí)現的遞推算式。在實(shí)際應用上，對非線(xiàn)性濾波問(wèn)題往往采用各種線(xiàn)性近似的方法。

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