學(xué)習傅里葉變換需要面對大量的數學(xué)公式，數學(xué)功底較差的同學(xué)聽(tīng)到傅里葉變換就頭疼。事實(shí)上，許多數學(xué)功底好的數字信號處理專(zhuān)業(yè)的同學(xué)也不一定理解傅里葉變換的真實(shí)含義，不能做到學(xué)以致用！

　　事實(shí)上，傅里葉變換的相關(guān)運算已經(jīng)非常成熟，有現成函數可以調用。對于絕大部分只需用好傅里葉變換的同學(xué)，重要的不是去記那些枯燥的公式，而是解傅里葉變換的含義及意義。

　　本文試圖不用一個(gè)數學(xué)公式，采用較為通俗的語(yǔ)言深入淺出的闡述傅里葉變換的含義、意義及方法，希望大家可以更加親近傅里葉變換，用好傅里葉變換。

一偉大的傅里葉、偉大的爭議！

　　1807年，39歲的法國數學(xué)家傅里葉于法國科學(xué)學(xué)會(huì )上展示了一篇論文（此時(shí)不能算發(fā)表，該論文要到21年之后發(fā)表），論文中有個(gè)在當時(shí)極具爭議的論斷：“任何連續周期信號可以由一組適當的正弦曲線(xiàn)組合而成”。

　　這篇論文，引起了法國另外兩位著(zhù)名數學(xué)家拉普拉斯和拉格朗日的極度關(guān)注！
 

　　58歲的拉普拉斯贊成傅里葉的觀(guān)點(diǎn)。

　　71歲的拉格朗日（貌似現在的院士，不用退休）則反對，反對的理由是“正弦曲線(xiàn)無(wú)法組合成一個(gè)帶有棱角的信號” 。屈服于朗格朗日的威望，該論文直到朗格朗日去世后的第15年才得以發(fā)表。

　　之后的科學(xué)家證明：傅里葉和拉格朗日都是對的！

　　有限數量的正弦曲線(xiàn)的確無(wú)法組合成一個(gè)帶有棱角的信號，然而，無(wú)限數量的正弦曲線(xiàn)的組合從能量的角度可以非常無(wú)限逼近帶有棱角的信號。

二傅里葉變換的定義

　　后人將傅里葉的論斷進(jìn)行了擴展：滿(mǎn)足一定條件的函數可以表示成三角函數（正弦和/或余弦函數）或者它們的積分的線(xiàn)性組合。如何得到這個(gè)線(xiàn)性組合呢？這就需要傅里葉變換。

　　一定條件是什么呢？

　　這是數學(xué)家研究的問(wèn)題，對于大多數搞電參量測量的工程師而言，不必關(guān)注這個(gè)問(wèn)題，因為，電參量測量中遇到的周期信號，都滿(mǎn)足這個(gè)條件。

　　這樣，在電參量測量分析中，我們可以用更通俗的話(huà)來(lái)描述傅里葉變換：

　　任意周期信號可以分解為直流分量和一組不同幅值、頻率、相位的正弦波。分解的方法就是傅里葉變換。

　　并且，這些正弦波的頻率符合一個(gè)規律：是某個(gè)頻率的整數倍。這個(gè)頻率，就稱(chēng)為基波頻率，而其它頻率稱(chēng)為諧波頻率。如果諧波的頻率是基波頻率的N倍，就稱(chēng)為N次諧波。直流分量的頻率為零，是基波頻率的零倍，也可稱(chēng)零次諧波。

三傅里葉變換的意義

1為什么要進(jìn)行傅里葉變換呢？

　　傅里葉變換是描述信號的需要。

　　只要能反映信號的特征，描述方法越簡(jiǎn)單越好！

　　信號特征可以用特征值進(jìn)行量化。

　　所謂特征值，是指可以定量描述一個(gè)波形的某種特征的數值。全面描述一個(gè)波形，可能需要多個(gè)特征值。

　　比如說(shuō)：正弦波可以用幅值和頻率兩個(gè)特征值全面描述；方波可以用幅值、頻率和占空比三個(gè)特征值全面描述（單個(gè)周期信號不考慮相位）。

　　上述特征值，我們可以通過(guò)示波器觀(guān)測實(shí)時(shí)波形獲取，稱(chēng)為時(shí)域分析法。事實(shí)上，許多人都習慣于時(shí)域分析法，想要了解一個(gè)信號時(shí)，一定會(huì )說(shuō)：“讓我看看波形！”

　　可是，除了一些常見(jiàn)的規則信號，許多時(shí)候，給你波形看，你也看不明白！

　　復雜的不講，看看下面這個(gè)波形，能看出道道嗎？

 
　　我們能看到的僅僅是一個(gè)類(lèi)似正弦波的波形，其幅值在按照一定的規律變化。

　　如何記載這個(gè)波形的信息呢？尤其是量化的記載！

　　很難！

　　事實(shí)上，上述波形采用傅里葉變換后，就是一個(gè)50Hz的正弦波上疊加一個(gè)40Hz的正弦波，兩者幅度不同，40Hz的幅度越大，波動(dòng)幅度就越大，而波動(dòng)的頻率就是兩者的差頻10Hz（三相異步電動(dòng)機疊頻溫升試驗時(shí)的電流波形）。

　　再看一個(gè)看似簡(jiǎn)單的波形：

 
　　這個(gè)波形有點(diǎn)像正弦波，但是，比正弦波尖，俗稱(chēng)“尖頂波”，多見(jiàn)于變壓器空載電流輸入波形。

　　我們很難準確定量其與正弦波的區別。

　　采用傅里葉變換后，得到下述頻譜（幅值譜）：

 
　　主要包括3、5、7、9次諧波，一目了然！

　　這就是傅里葉變換的主要目的。

　　現在，我們知道傅里葉變換的目的了， 剩下的問(wèn)題是：

2為什么傅里葉變換要把信號分解為正弦波的組合，而不是方波或三角波？

　　其實(shí)，如果張三能夠證明， 任意信號可以分解為方波的組合，其分解的方法不妨稱(chēng)為張三變換；李四能夠證明，任意信號可以分解為三角波的組合，其分解的方法也可以稱(chēng)為李四變換。

　　正弦波有個(gè)其它任何波形（恒定的直流波形除外）所不具備的特點(diǎn)：正弦波輸入至任何線(xiàn)性系統，出來(lái)的還是正弦波，改變的僅僅是幅值和相位，即：正弦波輸入至線(xiàn)性系統，不會(huì )產(chǎn)生新的頻率成分（非線(xiàn)性系統如變頻器，就會(huì )產(chǎn)生新的頻率成分，稱(chēng)為諧波）。用單位幅值的不同頻率的正弦波輸入至某線(xiàn)性系統，記錄其輸出正弦波的幅值和頻率的關(guān)系，就得到該系統的幅頻特性，記錄輸出正弦波的相位和頻率的關(guān)系，就得到該系統的相頻特性。

　　線(xiàn)性系統是自動(dòng)控制研究的主要對象，線(xiàn)性系統具備一個(gè)特點(diǎn)，多個(gè)正弦波疊加后輸入至一個(gè)系統，輸出是所有正弦波獨立輸入時(shí)對應輸出的疊加。

　　也就是說(shuō)，我們只要研究正弦波的輸入輸出關(guān)系，就可以知道該系統對任意輸入信號的響應。

　　這就是傅里葉變換的最主要的意義！

四如何求傅里葉變換？

　　文章開(kāi)始就說(shuō)了，具體求傅里葉變換，有成熟的函數可供調用。本文只講述如何理解傅里葉變換的思想。如果你掌握了這個(gè)思想，不用再記公式，也不用去調用什么函數，自己編個(gè)簡(jiǎn)單程序就可實(shí)現。就算你不會(huì )編程，只要你學(xué)過(guò)三角函數，至少可以理解傅里葉變換的過(guò)程。

　　傅里葉的偉大之處不在于如何進(jìn)行傅里葉變換，而是在于給出了“任何連續周期信號可以由一組適當的正弦曲線(xiàn)組合而成”這一偉大的論斷。

　　知道了這一論斷，只要知道正弦函數的基本特性，變換并不難，不要記公式，你也能實(shí)現傅里葉變換！

　　正弦函數有一個(gè)特點(diǎn)，叫做正交性，所謂正交性，是指任意兩個(gè)不同頻率的正弦波的乘積，在兩者的公共周期內的積分等于零。

　　這是一個(gè)非常有用的特性，我們可以利用這個(gè)特性設計一個(gè)如下的檢波器（下稱(chēng)檢波器A）：

　　待變換信號可能包含頻率為f的分量（下稱(chēng)f分量），也可能不包含f分量，總之，可能包含各種頻率分量。一句話(huà)，待變換信號是未知的，并且可能很復雜！

　　沒(méi)關(guān)系，我們先看看，待變換信號是否包含f分量。

　　因為其它頻率分量與標準正弦信號f的乘積的積分都等于零，檢波器A可以當它們不存在！經(jīng)過(guò)檢波器A，輸出就只剩下與f分量有關(guān)的一個(gè)量，這個(gè)量等于待變換信號中f分量與標準正弦信號f的乘積的積分。

　　很容易得到的結論是：

　　如果輸出不等于零，就說(shuō)明輸入信號包含f分量！

　　這個(gè)輸出是否就是f分量呢？

　　答案：不一定！

　　正弦波還有下述的特性：

　　相同頻率的正弦波，當相位差為90°時(shí)（正交），在一個(gè)周期內的乘積的積分值等于零；當相位相同時(shí)，積分值達到最大，等于兩者的有效值的乘積，當相位相反時(shí)，積分值達到最小，等于兩者的有效值的乘積取反。
　　我們知道標準正弦信號f的初始相位為零，但是，我們不知道f分量的初始相位！如果f分量與標準正弦信號f的相位剛好差90°（或270°），檢波器A輸出也等于零！為此，我們再設計一個(gè)檢波器B：

　　我們再把標準正弦信號f和標準余弦信號f的頻率替換成我們關(guān)心的任意頻率，就可以得到輸入信號的各種頻率成分。如果知道輸入信號的頻率，把這個(gè)頻率作為基波頻率f0，用f0、2f0、3f0依次替代標準正弦信號f和標準余弦信號f的頻率，就可以得到輸入信號的基波、2次諧波和3次諧波。

　　這就是傅里葉變換！

　　什么？不會(huì )積分？

　　沒(méi)有關(guān)系，實(shí)際上，在諧波檢測儀、電能質(zhì)量分析儀等各類(lèi)電參量測量?jì)x器中，現在用的都是基于交流采樣的離散傅里葉變換，在離散信號處理中，累加就是積分！

　　傅里葉變換就是這么簡(jiǎn)單，您學(xué)會(huì )了嗎？

 

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