一小波定義

　　小波（Wavelet)這一術(shù)語(yǔ)，顧名思義，“小波”就是小區域、長(cháng)度有限、均值為0的波形。所謂“小”是指它具有衰減性；而稱(chēng)之為“波”則是指它的波動(dòng)性，其振幅正負相間的震蕩形式。與Fourier變換相比，小波變換是時(shí)間（空間）頻率的局部化分析，它通過(guò)伸縮平移運算對信號（函數)逐步進(jìn)行多尺度細化，最終達到高頻處時(shí)間細分，低頻處頻率細分，能自動(dòng)適應時(shí)頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意細節，解決了Fourier變換的困難問(wèn)題，成為繼Fourier變換以來(lái)在科學(xué)方法上的重大突破。有人把小波變換稱(chēng)為“數學(xué)顯微鏡”。被廣泛應用于調和分析、語(yǔ)音處理、圖像分割、石油勘探和雷達探測等等方面，也被應用于音頻、圖像和視頻的壓縮編碼。

二小波分析

　　與Fourier變換相比，小波變換是空間（時(shí)間）和頻率的局部變換，因而能有效地從信號中提取信息。通過(guò)伸縮和平移等運算功能可對函數或信號進(jìn)行多尺度的細化分析，解決了Fourier變換不能解決的許多困難問(wèn)題。小波變換聯(lián)系了應用數學(xué)、物理學(xué)、計算機科學(xué)、信號與信息處理、圖像處理、地震勘探等多個(gè)學(xué)科。數學(xué)家認為，小波分析是一個(gè)新的數學(xué)分支，它是泛函分析、Fourier分析、樣調分析、數值分析的完美結晶；信號和信息處理專(zhuān)家認為，小波分析是時(shí)間—尺度分析和多分辨分析的一種新技術(shù)，它在信號分析、語(yǔ)音合成、圖像識別、計算機視覺(jué)、數據壓縮、地震勘探、大氣與海洋波分析等方面的研究都取得了有科學(xué)意義和應用價(jià)值的成果?！⌒盘柗治龅闹饕康氖菍ふ乙环N簡(jiǎn)單有效的信號變換方法，使信號所包含的重要信息能顯現出來(lái)。小波分析屬于信號時(shí)頻分析的一種，在小波分析出現之前，傅立葉變換是信號處理領(lǐng)域應用最廣泛、效果最好的一種分析手段。傅立葉變換是時(shí)域到頻域互相轉化的工具，從物理意義上講，傅立葉變換的實(shí)質(zhì)是把這個(gè)波形分解成不同頻率的正弦波的疊加和。正是傅立葉變換的這種重要的物理意義，決定了傅立葉變換在信號分析和信號處理中的獨特地位。傅立葉變換用在兩個(gè)方向上都無(wú)限伸展的正弦曲線(xiàn)波作為正交基函數，把周期函數展成傅立葉級數，把非周期函數展成傅立葉積分，利用傅立葉變換對函數作頻譜分析，反映了整個(gè)信號的時(shí)間頻譜特性，較好地揭示了平穩信號的特征。

　　小波變換是一種新的變換分析方法，它繼承和發(fā)展了短時(shí)傅立葉變換局部化的思想，同時(shí)又克服了窗口大小不隨頻率變化等缺點(diǎn)，能夠提供一個(gè)隨頻率改變的時(shí)間一頻率窗口，是進(jìn)行信號時(shí)頻分析和處理的理想工具。它的主要特點(diǎn)是通過(guò)變換能夠充分突出問(wèn)題某些方面的特征，因此，小波變換在許多領(lǐng)域都得到了成功的應用，特別是小波變換的離散數字算法已被廣泛用于許多問(wèn)題的變換研究中。從此，小波變換越來(lái)越引起人們的重視，其應用領(lǐng)域來(lái)越來(lái)越廣泛。

      現在，它已經(jīng)在科技信息產(chǎn)業(yè)領(lǐng)域取得了令人矚目的成就。電子信息技術(shù)是六大高新技術(shù)中重要的一個(gè)領(lǐng)域，它的重要方面是圖象和信號處理?，F今，信號處理已經(jīng)成為當代科學(xué)技術(shù)工作的重要部分，信號處理的目的就是：準確的分析、診斷、編碼壓縮和量化、快速傳遞或存儲、精確地重構（或恢復）。從數學(xué)地角度來(lái)看，信號與圖象處理可以統一看作是信號處理（圖象可以看作是二維信號），小波分析的許多分析和應用問(wèn)題，都可以歸結為信號處理問(wèn)題?，F在，對于其性質(zhì)隨時(shí)間是穩定不變的信號（平穩隨機過(guò)程），處理的理想工具仍然是傅立葉分析。但是在實(shí)際應用中的絕大多數信號是非穩定的（非平穩隨機過(guò)程），而特別適用于非穩定信號的工具就是小波分析。

三小波變換應用

　　小波分析的應用領(lǐng)域十分廣泛，它包括：數學(xué)領(lǐng)域的許多學(xué)科；信號分析、圖象處理；量子力學(xué)、理論物理；軍事電子對抗與武器的智能化；計算機分類(lèi)與識別；音樂(lè )與語(yǔ)言的人工合成；醫學(xué)成像與診斷；地震勘探數據處理；大型機械的故障診斷等方面；例如，在數學(xué)方面，它已用于數值分析、構造快速數值方法、曲線(xiàn)曲面構造、微分方程求解、控制論等。在信號分析方面的濾波、去噪聲、壓縮、傳遞等。在圖象處理方面的圖象壓縮、分類(lèi)、識別與診斷，去污等。在醫學(xué)成像方面的減少B超、CT、核磁共振成像的時(shí)間，提高分辨率等。

　　1、小波分析用于信號與圖象壓縮是小波分析應用的一個(gè)重要方面。它的特點(diǎn)是壓縮比高，壓縮速度快，壓縮后能保持信號與圖象的特征不變，且在傳遞中可以抗干擾?；谛〔ǚ治龅膲嚎s方法很多，比較成功的有小波包最好基方法，小波域紋理模型方法，小波變換零樹(shù)壓縮，小波變換向量壓縮等；

　　2、小波分解可以覆蓋整個(gè)頻域（提供了一個(gè)數學(xué)上完備的描述；

　　3、小波變換具有“變焦”特性，在低頻段可用高頻率分辨率和低時(shí)間分辨率（寬分析窗口），在高頻段，可用低頻率分辨率和高時(shí)間分辨率（窄分析窗口）；

　　4、小波變換實(shí)現上有快速算法（Mallat小波分解算法）；

      從圖像處理的角度看，小波變換存在以下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：

　　1、小波分解可以覆蓋整個(gè)頻域（提供了一個(gè)數學(xué)上完備的描述）

　　2、小波變換通過(guò)選取合適的濾波器，可以極大的減小或去除所提取得不同特征之間的相關(guān)性

　　3、小波變換具有“變焦”特性，在低頻段可用高頻率分辨率和低時(shí)間分辨率（寬分析窗口），在高頻段，可用低頻率分辨率和高時(shí)間分辨率（窄分析窗口）

　　4、小波變換實(shí)現上有快速算法（Mallat小波分解算法）

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