我們在“深入淺出的學(xué)習傅里葉變換”時(shí)曾了解到，數學(xué)界有過(guò)一場(chǎng)“正弦曲線(xiàn)能否組合成一個(gè)帶有棱角的信號”的偉大爭議，而這場(chǎng)爭議的男主角自然就是傅里葉和拉格朗日了。當然兩位男主角都沒(méi)有錯，劇情也告一段落。

　　直到1898年，美國阿爾伯特·米切爾森做了一個(gè)諧波分析儀，當他測試方波時(shí)驚訝的發(fā)現方波的XN(t)在不連續點(diǎn)附近部分呈現起伏，這個(gè)起伏的峰值大小似乎不隨N增大而下降！于是他寫(xiě)信給當時(shí)著(zhù)名的數學(xué)物理學(xué)家吉布斯，吉布斯檢查了這一項結果，隨機發(fā)表了他的看法：隨著(zhù)N增加，部分起伏就向不連續點(diǎn)壓縮，但是對任何有限的N值，起伏的峰值大小保持不變，這就是吉布斯現象。

吉布斯現象示意圖

　　吉布斯現象的含義是：一個(gè)不連續信號X(t) 的傅里葉級數的截斷近似XN(t)，一般來(lái)說(shuō)，在接近不連續點(diǎn)處將呈現高頻起伏和超量，而且，若在實(shí)際情況下利用這樣一個(gè)近似式的話(huà)，就應該選擇足夠大的N，以保證這些起伏擁有的總能量可以忽略。當然，在極限情況下，近似誤差的能量是零，而且一個(gè)不連續的信號(如方波)的傅里葉級數表示是收斂的。

　　出現吉布斯現象其實(shí)是由于傅里葉變換本身有很多成熟的快速算法(如FFT)，而且性能接近最佳，但它由于圖像數據的二維傅里葉變換實(shí)質(zhì)上是一個(gè)二維圖像的傅里葉展開(kāi)式，當然這個(gè)二維圖像被認為是周期性的。由于子圖像的變換系數在邊界上不連續，而將造成的復原子圖像也在其邊界上不連續。于是由復原子圖像構成的整幅復原圖像將呈現隱約可見(jiàn)的以子圖像尺寸為單位的方塊狀結構，影響整個(gè)圖像質(zhì)量。這就是為什么傅里葉變換在分析方波時(shí)在其不連續點(diǎn)上出現吉布斯現象的原因了。

　　解決吉布斯現象的方法是后來(lái)研究出來(lái)的離散余弦變換(DCT)，即在傅里葉級數展開(kāi)式中，如果被展開(kāi)的函數是實(shí)偶函數，那么其傅里葉級數中只包含余弦項，再將其離散化可導出余弦變換。

　　基本思路為：將一個(gè)對稱(chēng)的2N*2N像素的子圖像代替原來(lái)N*N子圖像。由于對稱(chēng)性，子圖像做二維傅里葉變換，其變換系數將只剩下實(shí)數的余弦項。這樣就可以消除吉布斯現象了。